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高三质量检测数学（理科）试题(13.9)
请将全部答案写在答题纸上，否则不得分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
第 I 卷（选择题 共 48 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．设复数 z 满足(1-i)z= i z= 2 ，则 （ ）
A. − +1 i B. − −1 i C.1+ i D. 1− i
2．在∆ABC 中, ∠∠∠ ABC , , 所对的边分别为abc , , ，若 aB C = ∠ = °∠ = ° 8, 60 , 75 ,则b 等于（ ）
A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. 32
3
3．平面内两定点 A B 、 及动点 P ，设命题甲是：“ PA PB + 是定值”，命题乙是：“点 P 的轨迹是以 A B 、
为焦点的椭圆”，那么 （ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的既不充分也不必要条件
4. 在
2
2 与 2 之间插入 10 个数，使这 12 个数成等比数列，则插入的这 10 个数之积为（ ）
A. 2 2 B.4 C. 4 2 D. 8
5. 若不等式 2 0 2
ax + x + > 的解集为 R ，则a 的范围是（ ）
A． a > 0 B． 8
1
a > − C． 8
1
a > D． a < 0
6．数列{ }n a 的前n 项和为 n S ，若 1
( 1) n a
n n = +
，则 5 S 等于（ ）
A．1 B． 5
6 C． 1
6 D． 1
30
7．如图，在长方体 ABCD A B C D − 111 1 中， AB BC = = 2 ， 1 AA =1，则 BC1 与
平面 BB D D 1 1 所成角的正弦值为( )
A.
6
3 B.
2 5
5 C.
15
5 D.
10
5
8．函数 y = x ln x 的单调递减区间是 （ ）
A．( , ) 1 +∞ − e B．( , ) −1 −∞ e C．(0, ) −1
e D．(e,+∞)
9．若函数 ( ) cos x fx e x = ，则此函数图象在点(1, (1)) f 处的切线的倾斜角为( )
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A．0 B．锐角 C．直角 D．钝角
10．抛物线 1 2 y x
m= 的焦点坐标为（ ）
A．
,0
4
1
m B． 1 0, 4m
C． ,0 4
m
D． 0, 4
m
11．图中阴影部分的面积是( )
A．16 B．18
C．20 D．22
12．设 1 3 2 ( ) 5 6
3 f x x ax x = + ++ 在区间[1，3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为 （ ）
A．[ 5, ) − +∞ B．( , 3] −∞ −
C．( , 3] [ 5, ) −∞ − ∪ − +∞ D．[ 5, 5] −
第Ⅱ卷（非选择题 共 72 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的相应位置.
13．椭圆
2 2
1
25 16
x y + = 上一点 P 到一焦点距离为 7，则 P 到另一焦点距离为 .
14．已知双曲线
2 2
2 2 1 x y
a b − = ( 0, 0) a b > > 的一条渐近线方程是 y x = 3 ，它的一个焦点与抛物线 y 16x
2 =
的焦点相同，则双曲线的方程为 .
15.不等式组
4
2 6
0
0
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤ ≥
≥
的所有点中，使目标函数 zxy = + 5 4 取得最大值的点的坐标为 ．
16. 方程
2 2
1
4 1
x y
t t
− = − − 表示曲线 C，给出以下命题：
①曲线 C 不可能是圆
②若曲线 C 为椭圆，则有1 4 < <t
③若曲线 C 为双曲线，则t <1或t>4
④若曲线 C 为焦点在 X 轴上的椭圆，则1 2.5 < <t
其中正确的是 .
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三、解答题:本大题共 6 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分 8 分）在 ∆ABC 中，已知 0 a cB = = = 3 3, 2, 150 ，求边b 的长及 ∆ABC 的面积.
18. （本小题满分 8 分）等差数列{ }n a 的前 n 项和记为 n S .已知 10 20 a a = = 30, 50 .
（1）求通项 n a ； （2）若 n S =242，求n .
19.（本小题满分 8 分）如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面
AEC F1 所截而得到的，其中 1 AB BC CC BE = = = = 4, 2, 3, 1]
（1）求 BF 的长；（2）求面 AEC F1 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.
20.（本小题满分 10 分）
某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4800 立方米,深度为 3 米.如果池底每平方米的造价为 150
元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少元?
21.（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) = x + b 的图象与函数 ( ) 3 2 2
g x = x + x + 的图象相切，记
F(x) = f (x)g(x).
（1）求实数b 的值及函数 F x( )的极值；
（2）若关于 x 的方程 Fx k ( ) = 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.
22．(本小题满分 12 分)
如图，已知椭圆
2 2
2 2 1 x y
a b
+ = ( 0) a b > > 的离心率
3
6
e = ，过点 A b (0, ) − 和 B a( ,0) 的直线与原点的距
离为
2
3 ．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点 E( 1,0) − ，若直线 y kx k =+ ≠ 2( 0) 与椭圆交于C D, 两点．问：
是否存在 k 的值，使以CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由．
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